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lundi 13 avril 2020

John Conway nous quitte : la fin d'un monde

John H. Conway en 2005

Le mathématicien britannique John Horton Conway nous a quittés ce samedi 21 quartème (11 avril) 2020, veille de Pâques. Retour sur ce mathématicien hors normes.

C'est par hasard et avec tristesse que nous apprenons que John Conway a été terrassé en trois jours par la covid-19. De nombreuses branches des mathématiques perdent un explorateur éclectique, rigoureux et rempli d'humour. Dans le domaine des calculs de calendriers, John Conway est le père de la méthode des jours pivots, ou encore méthode du "doomsday", qui facilite le calcul mental relatif aux jours de semaine. Son départ est en quelque sorte un clin d’œil à cette méthode, comme nous l'expliquons plus bas.

La plupart de ceux qui connaissent le nom de John Conway l'associent au fameux Jeu de la vie, qu'il a conçu en 1970. Il s'agit de ce qu'on appelle désormais un automate cellulaire. Les règles en sont très simples. Et pourtant cet automate possède la même capacité d'expression qu'une machine de Turing, c'est à dire d'un langage de programmation informatique puissant. A vrai dire, le Jeu de la vie est à Conway ce que le Boléro est à Ravel: L'auteur est chagriné de n'être connu essentiellement que par cette oeuvre. 

Pour les mathématiciens de profession, John Conway est avant tout associé à la théorie des groupes. Il est l'un des cinq auteurs de l'atlas des groupes finis, et trois des vingt-six groupes finis sporadiques portent son nom. John Conway est également un pilier de la théorie des jeux combinatoires, tels le jeu de Nim, les échecs ou le go. 

John Conway est un inventeur d'objets mathématiques particulièrement prolixe. La géométrie lui doit  la notation de Conway des polyèdres, qui permet de décrire toutes sortes de polyèdres transformés à partir des polyèdres réguliers convexes de Platon. Il enrichit la topologie géométrique des polynômes de Conway et d'une notation applicable aux nœuds. Il crée également les nombres surréels, une nouvelle catégorie de nombres pour lesquels les relations d'ordre (plus grand, plus petit) peuvent s'appliquer à des nombres ayant une partie infinie. L'algèbre lui est redevable d'importants travaux sur les quaternions et les octonions, extension des nombres réels et complexes à quatre ou huit dimensions. Il définit aussi la fonction de Conway en base 13. Cette fonction est un être analytique extrêmement curieux: elle est discontinue partout, mais vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires, ou propriété de Bolzano. On sait que toute fonction f continue sur un intervalle [a, b] de R prend toutes les valeurs f(x) entre f(a) et f(b) pour x dans [a, b]. Mais la réciproque n'est pas vraie, la fonction de Conway est un contre-exemple.

En 2004, John Conway a démontré, avec Simon B. Kochen, le théorème du libre arbitre, qui peut s'énoncer ainsi: "s'il existe un libre arbitre, alors les particules élémentaires l'exercent dans le cadre de la mécanique quantique." John Horton exprime les conséquences de ce théorème en portant un T-shirt sur lequel est écrit: "le chat de Schrödinger n'est pas mort". Il dit aussi que ce théorème est une réponse à la conviction d'Einstein s'opposant à Niels Bohr: "Dieu ne joue pas au dés". 

Les travaux de John Conway sur les calculs calendaires sont dus à sa grande complicité avec Martin Gardner, bien connu pour ses articles de vulgarisation scientifique dans Scientific American. Martin Gardner avait mis John Conway au défi de simplifier la méthode de calcul du jour de semaine due à Lewis Caroll. C'est ainsi qu'est née la méthode des jours-pivots, que les anglophones appellent plutôt Doomsday rule. Les Milésiens connaissent bien cette méthode décrite ici en détail. Rappelons le principe. A chaque année du calendrier on peut associer un jour de semaine particulier, que l'on appelle en français le jour-clé ou clavedi, et que John Conway appelle Doomsday, mot dont le sens original est Jour du jugement dernier. Ce Doomsday est donc, selon l'année, Monday ("Oneday"), ou Tuesday ("Two'sday"), etc. Or ce Doomsday tombe chaque année toujours aux mêmes dates du calendrier grégorien, des dates faciles à retenir, notamment les 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12, et aussi le 21 mars, date clé pour le calcul de Pâques: ce sont les jours-pivots. A partir de ces jours-pivots,  chacun est capable de retrouver le jour de semaine d'une autre date dans le mois. 

John Conway décrit cette méthode dans un article de 1973 intitulé Tomorrow is the Day After Doomsday (Eureka, volume 36, pages 28–31, October 1973). Comme je l'ai observé pour d'autres hommes originaux comme Beethoven ou René Goscinny, son arrivée dans le monde comme son départ sont des pirouettes calendaires. John Conway est né en effet le Doomsday 26 décembre 1937, lendemain de Noël. Il nous quitte le Doomsday 11 avril 2020, veille de Pâques, autre jour clé pour une application de sa méthode au calcul de Pâques. Ce lendemain de clavedi est la fin d'un monde, ou peut-être, puisque le chat de Schrödinger n'est pas mort, son recommencement.

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